2021년08월21일 18번
[과목 구분 없음] 집합 U={1, 2, 3, 4, 5, 6}에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 순서쌍 (A, B)의 개수는?
- ① 31
- ② 32
- ③ 63
- ④ 64
(정답률: 알수없음)
문제 해설
먼저, A와 B는 각각 U의 부분집합이므로, A와 B의 원소 개수는 0부터 6까지의 정수 중 하나가 될 수 있다.
1. A와 B가 모두 공집합인 경우: 1가지
2. A는 공집합이 아니지만 B는 공집합인 경우: A의 원소 개수는 1부터 6까지의 정수 중 하나가 될 수 있으므로, 6가지
3. A는 공집합인 경우: B의 원소 개수는 1부터 6까지의 정수 중 하나가 될 수 있으므로, 6가지
4. A와 B가 모두 공집합이 아닌 경우: A의 원소 개수는 1부터 6까지의 정수 중 하나가 될 수 있고, B의 원소 개수는 A의 원소 개수부터 6까지의 정수 중 하나가 될 수 있다. 따라서, A와 B의 원소 개수의 조합은 다음과 같다.
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
(4,4), (4,5), (4,6)
(5,5), (5,6)
(6,6)
각 조합에 대해 A와 B의 원소를 선택하는 경우의 수는 각각 2^1, 2^2, ..., 2^6이므로, 총 경우의 수는 다음과 같다.
1 × 2^1 + 6 × 2^2 + 6 × 2^1 + 15 × 2^2 = 1 + 24 + 12 + 60 = 97
따라서, 조건을 만족하는 순서쌍 (A, B)의 개수는 1 + 6 + 6 + 97 = 110개이다.
하지만, 문제에서 A와 B가 서로소인 경우의 개수를 구하는 것이므로, A와 B가 공통으로 가지는 원소가 있는 경우를 제외해야 한다.
A와 B가 공통으로 가지는 원소의 개수는 A와 B의 교집합의 원소 개수와 같다. 따라서, A와 B의 교집합의 원소 개수가 1 이상인 경우를 제외하면 된다.
A와 B의 교집합의 원소 개수가 1 이상인 경우는 다음과 같다.
(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)
따라서, A와 B가 서로소인 경우의 개수는 110 - 15 = 95개이다.
정답은 95가지이다.
1. A와 B가 모두 공집합인 경우: 1가지
2. A는 공집합이 아니지만 B는 공집합인 경우: A의 원소 개수는 1부터 6까지의 정수 중 하나가 될 수 있으므로, 6가지
3. A는 공집합인 경우: B의 원소 개수는 1부터 6까지의 정수 중 하나가 될 수 있으므로, 6가지
4. A와 B가 모두 공집합이 아닌 경우: A의 원소 개수는 1부터 6까지의 정수 중 하나가 될 수 있고, B의 원소 개수는 A의 원소 개수부터 6까지의 정수 중 하나가 될 수 있다. 따라서, A와 B의 원소 개수의 조합은 다음과 같다.
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
(4,4), (4,5), (4,6)
(5,5), (5,6)
(6,6)
각 조합에 대해 A와 B의 원소를 선택하는 경우의 수는 각각 2^1, 2^2, ..., 2^6이므로, 총 경우의 수는 다음과 같다.
1 × 2^1 + 6 × 2^2 + 6 × 2^1 + 15 × 2^2 = 1 + 24 + 12 + 60 = 97
따라서, 조건을 만족하는 순서쌍 (A, B)의 개수는 1 + 6 + 6 + 97 = 110개이다.
하지만, 문제에서 A와 B가 서로소인 경우의 개수를 구하는 것이므로, A와 B가 공통으로 가지는 원소가 있는 경우를 제외해야 한다.
A와 B가 공통으로 가지는 원소의 개수는 A와 B의 교집합의 원소 개수와 같다. 따라서, A와 B의 교집합의 원소 개수가 1 이상인 경우를 제외하면 된다.
A와 B의 교집합의 원소 개수가 1 이상인 경우는 다음과 같다.
(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)
따라서, A와 B가 서로소인 경우의 개수는 110 - 15 = 95개이다.
정답은 95가지이다.